西洋利玛窦撰
第一题
等髙之三角形方形自相与为比例与其底之比例等觧曰甲乙丙丁戊己两角形等髙其底乙丙戊己丙庚戊辛两方形等髙其底乙丙戊己题言甲乙丙与丁戊己之比例丙庚与戊辛之比例皆若乙丙与戊己
论曰试置四形于庚辛子寅两平行线内【凡形自顶至底作垂线即本形之髙故等髙者必在平行线内见本卷界说四】于乙子线内作数底线各与乙丙等为乙壬壬癸癸子于己寅线内作数底线各与戊己等为己丑丑寅次从甲从丁作甲壬甲癸甲子丁丑丁寅诸线其甲乙丙甲乙壬
甲壬癸甲癸子四三角形既等底而在平行线内即等【一卷三八】依显丁戊己丁己丑丁丑寅三三角形亦等则子丙底线大于乙丙若干倍而甲子丙角形大于甲乙丙亦若干倍依显戊寅之倍戊己亦若丁戊寅之倍丁戊己【底线分数与形之分数等故】即用三试法若子丙底大于戊寅底则甲子丙形亦大于丁戊寅形也若等亦等若小亦小也【一卷三八】则一乙丙所倍之子丙三甲乙丙所倍之甲子丙与二戊己所倍之戊寅四丁戊己所倍之丁戊寅等大小皆同类也而一乙丙底与二戊己底之比例若三甲乙丙与四丁戊己矣【五卷六界】又丙庚戊辛两方形各倍大于甲乙丙丁戊己两角形【一卷卅三】而甲乙丙与丁戊己之比例既若乙丙与戊己即丙庚与戊辛两方形之比例亦若乙丙与戊己两底矣【五卷十五】或从壬癸子及丑寅各作直线与庚乙辛己平行即依上论推显
增题凡两角形两方形各等底其自相与为比例若两形之髙之比例
解曰甲乙丙与丁戊己两角形甲庚乙丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊己等题言甲乙丙与丁戊己两角形之比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例皆若甲壬与丁癸两髙
论曰试作子壬底线与乙丙等作丑癸
底线与戊己等次作甲子丁丑两线其甲壬子与甲乙丙两角形等底又等髙即等依显丁癸丑与甲乙丙两角形等底又等髙即等依显丁癸丑与丁戊己两角形亦等【一卷三八】即甲乙丙与丁戊己之比例若甲壬子与丁癸丑也【五卷七】今以甲壬丁癸为底即甲壬子与丁癸丑两角形之比例若甲壬与丁癸两底也【本篇一】而甲乙丙与丁戊乙之比例亦若甲壬与丁癸矣又甲乙丙与丁戊己两角形之比例既以倍大故若甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例【五卷十五】即两方形之比例亦若甲壬与丁癸两底也【五卷十一】若作庚子辛丑两线亦依前论推显
第二题【二支】
三角形任依一邉作平行线即此线分两余邉以为比例必等三角形内有一线分两邉以为比例而等即此线与余邉为平行
先解曰甲乙丙角形内如作丁戊线与乙丙平行题言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊
以为比例必等者甲丁与丁乙若甲戊与戊丙也论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两角形同以丁戊为底同在两平行线内即等【一卷三七】而甲戊丁与丁戊乙两角形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣【五卷七】夫甲戊丁与丁戊乙两角形亦在两平行线内【若干戊防上作一线与甲乙平行即两形在其内】则甲戊丁与丁戊乙两角形之比例若甲丁与丁乙两底也【本篇一】依显甲戊与戊丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两角形也【两形亦在两平行线内故】是甲丁与丁乙两线之比例甲戊与戊丙两线之比例皆若甲戊丁与丁戊乙也或与丁戊丙也【丁戊乙与丁戊丙等】则甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙也【五卷十一】
后解曰甲乙丙角形内有丁戊线分甲乙甲丙于丁于戊以为比例而等题言丁戊与乙丙为平行线论曰试作丁丙戊乙两线其甲丁与丁乙两底之比例若甲戊丁与丁戊乙两角形也【在两平行线内故见本篇一】而甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙即甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊与戊丙也【五卷十一】又甲戊与戊丙两底之比例既若甲戊丁与丁戊丙【在两平行线内故见本篇一】则甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊丁与丁戊丙也【五卷十一】而丁戊乙与丁戊丙两角形等矣【五卷九】两角形同以丁戊为底
而等则在两平行线内【一卷卅九】
第三题【二支】
三角形任以直线分一角为两平分而分对角邉为两分则两分之比例若余两邉之比例三角形分角之线所分对角邉之比例若余两邉则所分角为两平分
先解曰甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角为两平分题言乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙
论曰试作乙戊线与甲丁平行次于丙甲线引长之至戊其甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角等外角丁甲丙与内角戊亦等【一卷廿九】今乙甲丁与丁甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等也而甲戊与甲乙两腰亦等矣【一卷六】则戊甲与甲丙之比例若乙甲与甲丙也【五卷七】夫戊甲与甲丙之比例若乙丁与丁丙也【本篇二】则乙甲与甲丙之比例亦若乙丁与丁丙也【五卷十一】后解曰乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙题言甲丁线分乙甲丙角为两平分
论曰依前作乙戊线与甲丁平行而引丙甲线至戊其乙甲与甲丙之比例既若乙
丁与丁丙甲丁线又与戊乙邉平行而乙丁与丁丙之比例若戊甲与甲丙【本篇二】即乙甲与甲丙之比例亦若戊甲与甲丙【五卷十一】是戊甲与乙甲两线等矣【五卷九】则甲乙戊角与戊角亦等也【一卷五】夫甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角等而外角丁甲丙与内角戊亦等【一卷廿九】则乙甲丁丁甲丙两角必等第四题
凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之邉为相似之邉
解曰甲乙丙丁丙戊两角形等角者甲乙丙与丁丙戊甲丙乙与丁戊丙乙甲丙与丙丁戊每相当之各角俱等也题言甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲
丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁戊与丙戊而每对等角之邉各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当等角论曰试并置两角形令乙丙丙戊两底为一直线而丁丙戊为甲乙丙之外角其甲乙丙甲丙乙两角既小于两直角【一卷廿七】丁戊丙与甲丙乙两角又等即乙戊两角亦小于两直角而乙甲戊丁两线引出之必相遇【一卷界说十一】即作两线令遇于己其丁丙戊外角与甲乙丙内角既等即丁丙与己乙为平行线【一卷】
【廿八】依显甲丙乙外角与丁戊丙内角既等即甲丙与己戊亦平行线【一卷廿八】而甲己丁丙为平行线方行则甲己与丁丙两线等也甲丙与己丁两线等也【一卷卅四】夫乙戊己角形内之甲丙线既与己戊邉平行即甲乙与等甲己之丁丙之比例若乙丙与丙戊也【本篇二】更之即甲乙与乙丙若丁丙与丙戊也【五卷十六】又乙戊己角形内之丁丙线既与己乙邉平行即乙丙与丙戊之比例若等己丁之甲丙与丁戊也【本篇二】更之即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也【五卷十六】甲乙与乙丙既若丁丙与丙戊而乙丙与甲丙又若丙戊与丁戊平之即甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也【五卷廿二】
一系凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如上甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊
角形必与甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角与甲乙丙内角等甲戊丁外角亦与甲丙乙内角等【一卷廿九】甲角又同即两形相似而各等角旁两邉之比例等【本题】
増题凡角形之内任依一邉作一平行线于此邉任取一防向对角作直线则所分两平行线比例等
解曰甲乙丙角形内作丁戊线与乙
丙平行次于乙丙邉任取己防向甲
角作直线分丁戊于庚题言乙己与
己丙之比例若丁庚与庚戊
论曰甲己乙甲庚丁两角形既相似【本系】即甲己与己乙之比例若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五卷十六】依显甲己与甲庚若己丙与庚戊也则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五卷十一】更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五卷十六】又论曰甲己乙甲庚丁两角形甲己丙甲庚戊两角形既各相似即乙己与甲己之比例若丁庚与庚甲也【本系】依显甲己与己丙亦若甲庚与庚戊也平之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五卷廿二】
第五题
两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等
觧曰甲乙丙丁戊己两角形其各两边之比例等者甲乙与乙丙若丁戊与戊己而乙丙与甲丙若戊己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊也题言此两形为等角形而对各相似边之角甲与丁乙与戊丙与己各等论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与丙角等而戊庚己庚两线遇于庚即庚角与甲角等【一卷三二】是甲乙丙庚戊己两形等角矣则甲
乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也【本篇四】甲乙与乙丙元若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也【五卷十一】而丁戊与庚戊两线必等【五卷九】又乙丙与甲丙之比例若戊己与庚己【本篇四】而乙丙与甲丙元若戊己与丁己则戊己与庚己亦若戊己与丁己也【五卷十一】而丁己与庚己两线必等【五卷九】夫庚戊庚己两腰既与丁戊丁己两腰各等戊己同底即丁角与庚角亦等【一卷八】其余庚戊己与丁戊己庚己戊与丁己戊各相当之角俱等【一卷四】而庚角与甲角既等即丁角与甲角亦等丁戊己角与乙角丁己戊角与丙角俱等第六题
两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己题言余角丙与己甲与丁俱等论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与丙角等而戊庚己庚两线遇于庚依前论推显甲乙丙庚戊己两形等角即甲乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也【本篇四】甲乙与乙丙元若丁
戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也【五卷十一】而丁戊与庚戊两线必等【五卷九】夫丁戊庚戊两边既等戊己同边庚戊己角与丁戊己角又等【丁戊己角与乙角等而己戊庚亦与乙等故】即其余各相当之角俱等【一卷四】而庚角既与甲角等庚己戊角既与丙角等即甲角丙角与丁角戊己丁角各等而甲乙丙丁戊己为等角形矣
第七题
两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似边之角各等解曰甲乙丙丁戊己两角形其一甲角与一丁角等而第二相当角如甲丙乙两旁之甲丙丙乙两邉偕丁己戊两旁之丁己己戊两邉比例等其第三相当角如乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形等角者谓甲丙乙角与己等乙角与戊等先论乙与戊俱小于直角者曰如云不然
而甲丙乙大于己令作甲丙庚角与己等即甲庚丙角宜与戊等【一卷卅二】甲庚丙与丁戊己为等角形矣即甲丙与丙庚之比例宜若丁己与己戊【本篇四】而先设甲丙与丙乙若丁己与己戊也是甲丙与丙庚亦若甲丙与丙乙也【五卷十一】是庚丙与乙丙两线等也【五卷九】丙庚乙与丙乙庚两角亦等也【一卷五】夫乙既小于直角即等腰内之丙庚乙亦小于直角则较角之丙庚甲必大于直角也【丙庚甲丙庚乙两角等于两直角见一卷十三】而丙庚甲既与戊等则丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角何由得小于直角也
后论乙与戊俱不小于直角者曰如云不然依先论乙角与丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙庚乙丙乙庚同为角形内之两角乃俱不小于直角【一卷十七】何也则甲丙乙不得不等于丁己戊也而其余乙与戊角等矣【一卷卅二】
第八题
直角三邉形从直角向对邉作一垂线分本形为两直角三邉形即两形皆与全形相似亦自相似
解曰甲乙丙直角三邉形从乙甲丙直角作甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两三邉形皆与全形相似亦自相似
论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为直角而丙角又同即其余甲乙丙丁甲丙两角必等【一卷三】则甲乙丙甲丁丙两形必为等角形而等角旁之各两邉比例必等等者谓乙丙与甲丙若甲丙与丙丁也甲丙与甲乙若丙丁与甲丁也乙丙与甲乙若甲丙与甲丁也即甲丁丙角形与甲乙丙全形相似矣【本篇四】依显甲丁乙角形与甲乙丙全形亦相似也何者丙甲乙甲丁乙两皆直角而乙角又同即其余甲丙乙丁甲乙两角必等【一卷卅二】甲乙丙甲丁乙两形必为等角形而等角旁之各两邉比例必等故也依显甲丁乙甲丁丙两角形亦相似也何者两形各与全形相似即两形自相似【五卷十一】
系从直角作垂线即此线为两分对邉线比例之中率而直角旁两邉各为对角全邉与同方分邉比例之中率何者丙丁与丁甲之比例若丁甲与丁乙也故丁甲为丙丁丁乙两分邉比例之中率也又乙丙与丙甲之比例若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁之中率也乙丙与乙甲之比例若乙甲与乙丁也故乙甲为乙丙乙丁之中率也
第九题
一直线求截所取之分
法曰甲乙直线求截取三分之一先从甲任作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作己乙直线末作丁庚线与己乙平行即
甲庚为甲乙三分之一
论曰甲乙己角形内之丁庚线既与乙己邉平行即己丁与丁甲之比例若乙庚与庚甲也【本篇二】合之己甲与甲丁若乙甲与庚甲也【五卷十八】而甲丁既为己甲三分之一即庚甲亦为乙甲三分之一也
注曰甲乙线欲截取十一分之四先作甲丙线为丙甲乙角从甲向丙任平分十一分至丁次作丁乙线末从甲取四分得戊作戊己线与丁乙平行即甲己为十一分甲乙之四何者依上论丁甲与戊甲之比
例若乙甲与己甲也反之甲戊与甲丁若甲己与甲乙也【五卷四】甲戊为甲丁十一分之四则甲己亦甲乙十一分之四矣依此可推不尽分之数葢四不为十一之尽分故
第十题
一直线求截各分如所设之截分
法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相聮
于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相聮末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙之分于丁于戊
论曰甲丁与丁戊之比例既若甲己与己庚【本篇二】即甲己与己庚亦若甲丁与丁戊也更作丁辛线与甲乙平行而分戊庚于壬即丁戊与戊丙若丁壬与壬辛也亦若等丁壬之己庚【一卷卅四】与等壬辛之庚乙也【本篇二】则己庚与庚乙亦若丁戊与戊丙也
从此题作一用法平分一直线为若干分如甲乙线求五平分即从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作五平分为甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直线相聨末作丁壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即
壬癸子丑分甲乙为五平分其理依前论推显又一简法如甲乙线求五平分即从丙任作丙乙线为丙乙甲角次于乙丙任取一防为丁作丁戊线与
甲乙平行次从丁向戊任作五平分
为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸
线令小于甲乙次从甲过癸作甲子
线遇乙丙于子末从子作子壬子辛
子庚子己四线各引长之而分甲乙
于丑于寅于夘于辰为五平分
论曰丁戊与甲乙既平行即子壬癸与子丑甲两角子癸壬与子甲丑两角各等【一卷廿九】而甲子丑同角即甲子丑癸子壬两角形相似矣则子癸与癸壬之比例若子甲与甲丑也【本篇四】依显子壬与壬辛若子丑与丑寅也又癸壬与壬辛等即子壬与壬癸若子壬与壬辛也【五卷七】则子丑与丑甲亦若子丑与丑寅也而甲丑丑寅两线等矣【五卷十一】依显寅夘夘辰辰乙俱与甲丑等则甲乙线为五平分又一简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分
次用元度从甲作壬癸子丑四平分
末作戊丑己子庚癸辛壬四线相聨
即分甲乙于己于辰于夘于寅为五
平分
论曰辛庚与壬癸既平行相等即辛
壬与庚癸亦平行【一卷卅三】依显己子戊
丑俱平行而甲丑既为四平分则甲
己亦四平分【本题】依显乙辛既为四平
分则乙寅亦四平分而通甲乙为五平分
又用法先作一器丙丁戊己为
平行线任平分为若干格每分
作平行线相聨今欲分甲乙为
五平分即规取甲乙之度以一
角抵戊丙线而一角抵庚辛线如不在庚辛者即渐移之令至也既至壬即戊壬之分为甲乙之分论曰庚癸与子辛既平行相等即癸子庚辛亦平行相等【一卷卅三】而丙丁戊己内诸线俱平行相等戊庚为五平分即戊壬亦五平分矣【本题】戊壬之度既与甲乙等即自戊至壬诸格分甲乙为五平分也如戊丙线上取丑防而甲乙度抵庚辛之外若丑寅即从庚辛线引长之为庚寅而癸子诸线俱引长之其丑寅仍为五平分如前论若所欲分之线极小则制器宜宻令相称焉
増题有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例
法曰甲乙线求两分之而两分之比例若所设丙与丁先从甲任作甲戊线而为甲角次截取甲己与丙等己庚与丁
等次作庚乙线聨之末作己辛线与庚乙平行即分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁说见本篇二
又増题两直线各三分之各互为两前后率比例等即两中率与两前两后率各为比例亦等
解曰甲乙丙丁两线各三分之于戊
于己于庚于辛各互为两前两后率
比例等者甲戊与戊乙若丙庚与庚
丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也题言中率戊己庚辛各与其前后率为比例亦等者甲戊与戊己若丙庚与庚辛己乙与戊己若辛丁与庚辛也论曰甲戊与戊乙之比例既若丙庚与庚丁即合之甲乙与戊乙若丙丁与庚丁也而甲己与己乙既若丙辛与辛丁即合之甲乙与己乙若丙丁与辛丁也又反之己乙与甲乙若辛丁与丙丁也夫己乙与甲乙既若辛丁与丙丁而甲乙与戊乙又
若丙丁与庚丁即平之己乙与戊乙
亦若辛丁与庚丁也【五卷廿二】又转之戊
乙与戊己若庚丁与庚辛也又分之
己乙与戊己若辛丁与庚辛也此后解也又甲戊与戊乙既若丙庚与庚丁而戊乙与戊己又若庚丁与庚辛即平之甲戊与戊己若丙庚与庚辛也此前觧也
又简论曰如后圗聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙之比例既若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行【本篇二】甲己与己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行【本篇二】而庚戊与辛己亦平行【一卷三十】是甲戊与戊己若丙庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也【本篇二】
第十一题
两直线求别作一线相与为连比例
法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者合两线任作甲角而甲乙与甲丙之比例若甲丙与他线也先于甲乙引长之为乙
丁与甲丙等次作丙乙线相聨次从丁作丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求
线【如以甲丙为前率仿此】
论曰甲丁戊角形内之丙乙线既与戊丁邉平行即甲乙与乙丁之比例若甲丙与丙戊
也【本篇二】而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与
丙戊也【五卷七】
注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长
之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求线
论曰甲丙丁角形之甲丙丁既为直角而从直角至甲丁底有丙乙垂线即丙乙为甲乙乙丁比例之中率【本篇八之系】则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也既从一二得三即从二三求四以上至于无穷俱仿此
第十二题
三直线求别作一线相与为断比例
法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙
次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊于戊即丁戊为所求线
论曰甲丙戊角形内之丁乙线既与丙戊边平行即甲丁与丁戊之比例若甲乙与乙丙【本篇二】
第十三题
两直线求别作一线为连比例之中率
法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平
分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率论曰试从丁作丁甲丁丙两线即甲丁丙为直角【三卷卅一】而直角所下乙丁垂线两分对邉线甲丙其甲乙与乙丁若乙丁与乙丙也【本篇八之系】则乙丁为甲乙乙丙之中率
注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为分径线之中率线如甲乙丙半圜其乙丁为甲丁丁丙之中率己戊为甲戊戊丙之
中率辛庚为甲庚庚丙之中率也何者半圜之内从垂线作角皆为直角【三卷卅一】故依前论推显各为中率也
増题一直线有他直线大于元线二倍以上求分他线为两分而以元线为中率
法曰甲乙线大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨为丙甲乙直角而两平分甲乙于下次以
丁为心甲乙为界作甲戊乙半圜次从丙作丙戊线与甲乙平行而遇半圜界于戊末从戊作戊己垂线而分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之中率
论曰试作戊甲戊乙两线依本题论即戊己为甲己己乙之中率而甲丙戊己为平行方形即丙甲与戊己等【一卷卅四】则丙甲亦甲己己乙之中率也
第十四题【二支】
两平行方形等一角又等即等角旁之两邉为互相视之邉两平行方形之一角等而等角旁两邉为互相视之邉即两形等
先解曰甲乙丙辛乙戊己庚两平行方形等甲乙丙戊乙庚两角又等题言此两角各两旁之两邉为互相视之邉者
甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也
论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚为一直线其甲乙丙与戊乙庚既等角卽戊乙乙丙亦一直线【一卷十五增题】次从辛丙己庚各引长之遇于丁其辛乙乙己两平行方形既等即辛乙与乙丁两形之比例若乙己与乙丁
也【五卷七】而辛乙与乙丁俱在两平行线之内等髙即辛乙与乙丁两形之比例若其底甲乙与乙庚也【本篇一】依显乙己与乙丁两形亦若其底戊乙与乙丙也则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也
后觧曰甲乙丙戊乙庚等角两旁之各两邉为互相视之邉者甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也题言辛乙乙己两平行方形等
论曰依上论以两等角相聨其甲乙与乙庚之比例既若戊乙与乙丙而甲乙与乙庚两底之比例若平行等髙之辛乙与乙丁两形【本篇一】戊乙与乙丙两底之比例若平行等髙之乙己与乙丁两形则辛乙与乙丁若乙己与乙丁矣而辛乙乙己两形安得不等【五卷九】
第十五题【二支】
相等两三角形之一角等即等角旁之各两邉互相视两三角形之一角等而等角旁之各两邉互相视即两三角形等
先解曰甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又等题言等角旁之各两邉互相视者谓甲乙与乙戊之比例若丁乙与乙丙也
论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊为
一直线其甲乙丙丁乙戊既等角即丁乙乙丙亦一直线【一卷十五増题】次作丙戊线相聨其甲乙丙乙丁戊两角形既等即甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊也【五卷七】夫甲乙丙与乙丙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也而乙丁戊与乙丙戊两等髙形亦若其底丁乙与乙丙也则甲乙与乙戊若丁乙与乙丙
后解曰两乙角等而乙旁各两边甲乙与乙戊之比例若丁乙与乙丙题言甲乙丙乙丁戊两角形等论曰依前列两形令等角旁两邉各为一直线其甲乙与乙戊之比例既若丁乙与乙丙而甲乙与乙戊两底又若其上甲乙丙乙丙戊两等髙角形丁乙与乙丙两底又若其上乙丁戊乙丙戊两等髙角形则甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊矣而甲乙丙与乙丁戊岂不相等【五卷九】
第十六题【二支】
四直线为断比例即首尾两线矩内直角形与中两线矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形等即四线为断比例
先解曰甲乙己庚戊己乙丙四直线为断比例者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾两线矩内直角形戊己庚辛为戊己己庚
中两线矩内直角形题言甲丙戊庚两形等
论曰两形之乙与己既等为直角而甲乙与己庚之比例若戊己与乙丙是乙己等角旁之各两邉互相视而甲丙戊庚两直角形必等【本篇十四】
后解曰甲丙戊庚两直角形等题言四线之比例等者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也
论曰甲丙戊庚两形之乙与己既等为直角即等角旁之各两邉互相视而甲乙与己庚之比例若戊己与乙丙也【本篇十四】则四线为断比例矣
注曰若平行斜方形而等
角亦同此论如上圗
以上二题即筭家句股法三数筭法所頼也
第十七题【二支】
三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方形等即三线为连比例
先解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例者甲乙与戊己若戊己与乙丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾线矩内直角形戊己庚辛为戊己上直角方形题言甲丙戊庚两形等
论曰试作己庚线与戊己等即甲乙乙丙己庚戊己为比例等等者谓甲乙与戊己若己庚与乙丙也则戊己己庚矩内直角形【即戊己上直角方形】与甲乙乙丙首尾线矩内之甲丙形等矣【本篇十六】
后解曰甲丙直角形与戊庚直角方形等题言甲乙与戊己之比例若戊己与乙丙
论曰甲丙戊庚既皆直角形即甲乙与戊己之比例若己庚与乙丙也【本篇十六】而己庚与乙丙亦若等己庚之戊己与乙丙【五卷七】则甲乙与戊己若戊己与乙丙矣
注曰若平行斜方形而等
角亦同此论如上圗
系凡直线上直角方形与他两线所作矩内直角形等即此线为他两线之中率何者依上后论甲乙乙丙矩内直角形与戊己上直角方形等即可推甲乙与戊己若戊己与乙丙而戊己为甲乙乙丙之中率故
第十八题
直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等法曰如甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等先于设形任从一角向各对角各作直线而分本形为若干角形如上设形则从己向丙向丁作两直线而分为丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也
次于元线上作乙甲壬甲乙壬两角与丁丙己丙丁己两角各等其甲壬乙壬两线遇于壬即甲壬乙与丙己丁两角亦等而甲壬乙与丙己丁两形为等角形矣【一卷卅二】次作乙壬辛壬乙辛两角与丁己戊己丁戊两角各等其壬辛乙辛两线遇于辛即乙辛壬与丁戊己两角亦等而乙壬辛与丁己戊两形为等角形矣末依上作甲壬癸与丙己庚亦为等角形即甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚两形等角则相似而体势等凡设多角形俱仿此
论曰壬甲乙角与己丙丁角既等而壬甲癸角与己丙庚角又等即乙甲癸全角与丁丙庚全角等依显甲乙辛与丙丁戊两全角亦等而其余各全角俱等则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚为等角形矣又甲乙与乙壬之比例既若丙丁与丁己而乙壬与乙辛亦若丁己与丁戊【本篇四】平之即甲乙与乙辛亦若丙丁与丁戊也【五卷廿二】则甲乙辛丙丁戊两等角旁各两边之比例等
也而辛戊两等角旁各两边之比例亦等也【两形等角即等角旁各两边之比例等见本篇四】又辛壬与壬乙之比例既若戊己与己丁而壬乙与壬甲亦若己丁与己丙壬甲与壬癸亦若己丙与己庚平之即辛壬与壬癸亦若戊己与巳庚也【五卷廿二】则辛壬癸戊己庚两等角旁各两边之比例等也依显余角俱如是则两形为等角形而各等角旁各两边之比例俱等是两形相似而体势等注曰凡线上形相当之各角等即形相似而体势等如上甲乙丙丁戊己两角形其乙丙戊己线上之乙角丙角与戊角己角相当相等者是也若两形在乙丙丁戊两线上则虽相似而体势不等又如上甲丙戊庚两直角形其甲丁与丁丙之比例若戊辛与辛庚而余邉之比例俱等亦形相似而体势等若甲丙壬庚两直
角形虽角旁比例等而在丁丙庚
辛线上不相当则体势不等
増作本题别有一简法如设甲乙
丙丁戊己直线形求于庚线上作
直线形与相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲己两线任引出之为甲辛甲丑次从甲向各角各任作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取甲辛与庚线末从辛作辛壬线与乙丙平行作壬癸与丙丁癸子与丁戊子丑与戊己各平行即所求
论曰两形之甲角既同甲乙丙甲己戊两角与甲辛壬甲丑子两角各等【一卷廿九】而甲丙乙甲丙丁两角与甲壬辛甲壬癸两角各等即乙丙丁与辛壬癸两全角亦等依显丙丁戊丁戊己与壬癸子癸子丑各全角各等则甲乙丙丁戊己与甲辛壬癸子丑两直线形为等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲癸子甲子丑四三角形与甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形各相似【本篇四之系】即甲乙与乙丙之比例若甲辛与辛壬也而乙丙与丙甲若辛壬与壬甲也丙甲与丙丁若壬甲与壬癸也平之则乙丙与丙丁亦若辛壬与壬癸也依显余邉俱如是则两形相似而体势等也
第十九题
相似三角形之比例为其相似邉再加之比例
解曰如甲乙丙丁戊己两角形等角其乙与戊丙与己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己题言两形之比例为乙丙与戊己两邉再加之比例
先论曰若两角形等即乙丙与戊己两邉亦等而各两等邉为相同之比例即两形亦相同之比例就令作再加之比例亦未免为相同之比例则相等之两形即可为
两等邉再加之比例矣
后论曰若乙丙邉大于戊己邉即于乙丙线上截取乙庚为连比例之第三率令乙丙与戊己之比例若戊己与乙庚也【本篇十一】次作甲庚直线其甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己更之即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也而乙丙与戊己若戊己与乙庚则甲乙与丁戊若戊己与乙庚也夫甲乙庚与丁戊己两角形有乙戊两
等角而各两旁之两邉又互相视【本篇十五】即两形等则甲乙丙形与丁戊己形之比例若甲乙丙形与甲乙庚形矣【五卷七】又甲乙丙与甲乙庚两等髙角形之比例若乙丙底与乙庚底【本篇一】则甲乙丙形与丁戊己形之比例亦若乙丙底与乙庚底也既乙丙戊己乙庚三线为连比例则一乙丙与三乙庚之比例为一乙丙与二戊己再加之比例矣是甲乙丙与丁戊己两形之比
例为乙丙与戊己再加之比例也
系依本题可显凡三直线为连比例即第一线上角形与第二线上角形之比例若第一线与第三线之比例如上甲乙丙三直线为连比例
其甲与乙上各有角形相似而体势等则一甲线与三丙线之比例若甲形与乙形也何者甲线与丙线之比例为甲线与乙线再加之比例而甲形与乙形之比例亦甲线与乙线再加之比例则甲形与乙形之比例若甲线与丙线矣依显二乙上角形与三丙上角形相似而体势等则二乙形与三丙形之比例若一甲线与三丙线
第二十题【三支】
以三角形分相似之多邉直线形则分数必等而相当之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若两元形之比例其元形之比例为两相似邉再加之比例
先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多邉直线形其乙甲戊庚己癸两角等余相当之各角俱等而各等角旁各两邉之比例各等题先言各以角形分之其角形之分数必等而相当之各角形各相似
论曰试从乙甲戊庚己癸两角向各对角俱作直线为甲丙甲丁己辛己壬其元形
既相似即角数等而所分角形之数亦等又乙角既与庚角等而角旁各两邉之比例亦等即甲乙丙与己庚辛两角形必相似【本篇六】乙甲丙与庚己辛两角甲丙乙与己辛庚两角各等而各等角旁各两邉之比例各等【本篇四】依显甲戊丁己癸壬两角形亦相似又甲丙与丙乙之比例既若己辛与辛庚而丙乙与丙丁若辛庚与辛壬【两元形相似故】平之即甲丙与丙丁若己辛与辛壬也【五卷廿二】又乙丙丁角既与庚辛壬角等而各减一相等之甲丙乙角己辛庚角即所存甲丙丁角与己辛壬角必等则甲丙丁与己辛壬两角形亦等角形亦相似矣【本篇六】
次解曰题又言各相当角形之比例若两元形之比例
论曰甲乙丙己庚辛两角形既相似即两形之比例为甲丙己辛两相似邉再加之比例【本篇十九】依显甲丙丁己辛壬之比例亦为甲丙己辛再加之比例则甲乙丙与己庚辛两角形之比例若甲丙丁与己辛壬两角形之比例依显甲丁戊与己壬癸之比例亦若甲丙丁与己辛壬之比例则此形中诸角形之比例若彼形中诸角形之比例此诸形为前率彼诸形为
后率而一前与一后之比例又若并前与并后之比例【五卷十二】即此一角形与相当彼一角形之比例若此元形与彼元形之比例矣
后解曰题又言两多邉元形之比例为两相似邉再加之比例
论曰甲乙丙与己庚辛两角形之比例既若甲乙丙丁戊与己庚辛壬癸两多邉形之比例而甲乙丙与己庚辛两形之比例为甲乙己庚两相似邉再加之比例【本篇十九】则两元形亦为甲乙己庚再加之比例増题此直线倍大于彼直线则此线上方形与彼线上方形为四倍大之比例若此方形与彼方形为四倍大之比例则此方形邉与彼方形邉为二倍大之比例
先解曰甲线倍乙线题言甲上方形与乙上方形为四倍大之比例
论曰凡直角方形俱相似【本卷界说一】依本题
论则甲方形与乙方形之比例为甲线与乙线再加之比例甲线与乙线既为倍大之比例则两方形为四倍大之比例矣何者四倍大之比例为二倍大再加之比例若一二四为连比例故也
后解曰若甲上方形与乙上方形为四倍大之比例题言甲邉与乙邉为二倍大之比例
论曰两方形四倍大之比例既为两邉再加之比
例则甲邉二倍大于乙邉
系依此题可显三直线为连比例如甲乙丙则第一线上多邉形与第二线上相似多邉形之比例若第一线与第三线之比
例
此系与本篇第十九题之系同论
第二十一题
两直线形各与他直线形相似则自相似
解曰甲乙丙丁戊己两直线形各与庚辛壬形相似题言两形亦自相似
论曰甲乙丙形之各角既与庚辛壬形之各角等而丁戊己形之各角亦与庚辛壬形之各角等即两形之各角自相等【公论】两形之各角既等则甲乙丙形与庚辛壬形各等角旁各邉之比例等【五卷十一】而丁戊己形与庚壬辛形各等角旁各邉之比例亦等也是甲乙丙
形与丁戊己形各等角旁各邉之比例亦等也各角既等各邉之比例又等即两形定相似矣【本卷界说一】第二十二题【二支】
四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线为断比例
先解曰甲乙丙丁戊己庚辛四直线为断比例者甲乙与丙丁若戊己与庚辛也今于甲乙丙丁上各任
作直线形自相似如甲乙壬丙丁癸
于戊己庚辛上各任作直线形自相
似如戊己丑子庚辛夘寅题言四形
亦为断比例者谓甲乙壬与丙丁癸
若戊丑与庚夘也
论曰试以甲乙丙丁两线求其连比
例之末率线为辰【本篇十一】次以戊己庚辛两线求其连比例之末率线为己平之即甲乙与辰之比例若戊己与己也【五卷廿二】夫甲乙壬与丙丁癸两相似形之比例若甲乙线与辰线【本篇十九及廿之系】而戊丑与庚夘两相似形之比例若戊己线与己线则甲乙壬与丙丁癸之比例亦若戊丑与庚夘矣【五卷十一】
后解曰如前四形为断比例题言甲乙丙丁戊己庚辛四线亦为断比例论曰试以甲乙丙丁戊己三线求其断
比例之末率线为午未【本篇十二】次于午未上作直线形与戊丑相似而体势等为午未酉申【本篇十八】午酉与戊丑相似即与庚夘亦相似而甲乙与丙丁之比例既若戊己与午未依上论即甲乙壬与丙丁癸两形之比例若戊丑与午酉矣夫甲乙壬与丙丁癸之比例元若戊丑与庚夘则戊丑与午酉亦若戊丑与庚夘也【五卷十一】而午酉与庚夘等也【五卷九】午酉与庚夘既等又相似而体势等即两形必在等线之上而庚辛与午未必等【见下方补论】则戊己与午未之比例若戊己与庚辛也而戊己与午未元若甲乙与丙丁则甲乙与丙丁亦若戊己与庚辛也
补论曰庚夘午酉两直线形相等相似而体势等即在等线之上者何也盖庚辛与午未若云不等者或言庚辛大于午未也则辛夘宜亦大于未酉矣【五卷十四】而庚夘形宜亦大于午酉形矣何先设两形等也言小仿此【补论者前此未着而论中无他论可徴故别作一论以足未备】
又补论曰甲乙丙丁戊己两直线形相等相似而体势等即相似邉如甲乙与丁戊必等者何也盖云不等者或言甲乙大于丁戊也即令以甲乙丁戊两线求其连比例之末率线为庚【本篇十一】其甲乙与丁戊既若丁戊与庚
而甲乙大于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大于庚矣然甲乙与庚之比例若甲乙丙形与丁戊己形【本篇十九及廿之系】甲乙既大于庚则甲乙丙宜大于丁戊己何先设两形等也是甲乙不能大于丁戊矣言小仿此
増论曰本题别有简论今先显四线之比例等而甲
乙壬与丙丁癸两形之比例若戊丑
与庚夘两形者盖甲乙与丙丁之比
例若戊己与庚辛而甲乙壬与丙丁
癸之比例为甲乙与丙丁再加之比
例【本篇十九】戊丑与庚卯之比例亦为戊己与庚辛再加之比例是甲乙壬与丙丁癸若戊丑与庚夘也次増论曰今显四形之比例等而甲乙与丙丁两线之比例若戊己与庚辛两线者盖甲乙壬与丙丁癸之比例若戊丑与庚夘而甲乙壬与丙丁癸之比例为甲乙与丙丁再加之比例若戊丑与庚夘为戊己与庚辛再加之比例【本篇十九】则甲乙与丙丁之比例若戊己与庚辛矣
第二十三题
等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结
解曰甲丙丙己两平行方形之乙丙丁戊丙庚两角等题言两形之比例以各等角旁各两邉之比例相结者谓两比例之前率在此形两比例之后率在
彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结也
论曰试以两等相聨于丙而乙丙丙庚作一直线其乙丙丁角既与戊丙庚角等即戊丙丙丁亦一直线【一卷十五増】次于甲丁己庚各引长之遇于辛次任作一壬线次以乙丙丙庚壬三线求其断比例之末率线为癸【本篇十二】末以丁丙丙戊癸三线求其断比例之末率线为子其乙丙与丙庚两底之比例既若甲丙与丙辛两形【本篇一】而乙丙与丙庚亦若壬与癸则甲丙与丙辛亦若壬与癸也【五卷十一】依显丙辛与丙己亦若癸与子也平之即甲丙与丙己若壬与子也【五卷廿二】夫壬与子之比例元以壬与癸癸与子两比例相结【本卷界说五】而壬与癸癸与子元若乙丙与丙庚丁丙与丙戊则甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊两比例相结也其以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结则先以乙丙丙戊为一直线可依上推显
后注曰此不同理之比例也两形不相似【本篇十九】又不相等之形也等角旁各两邉不互相视【本篇十四】故必用相结之理必湏借象之术其法假虚形实所以通比例之穷也以数明之乙丙六十丙庚二十壬三求得癸一丁丙四十丙戊八十癸一求得子二即甲丙之实二千四百与丙己之实一千六百若壬三与子二为等带半之比例也其曰壬与癸癸与子两比例相结者壬三倍大于癸癸反二倍大于子【反二倍者癸得子之半】三乗半得一五则壬与子为等带半之比例也其曰借象者乙丙与丙庚丁丙与丙戊二比例既不同理又异中率故借壬与癸癸与子同中率而不同理之二比例以为象【本卷界说五】初作壬与癸若乙丙与丙庚次作癸与子若丁丙与丙戊【本篇十二】则癸为前率之后又为后率之前是为壬子首尾两率之枢纽令相象之丙庚丁丙亦化两率为一率为乙丙丙戊首尾两率之枢纽因以两比例相结为首尾两率之比例虽不能使三率为同理之两比例而合为一连比例亦能使两不同理之比例首尾合而为一比例矣自三以上可仿此相借以至无穷也【本卷界说五】
第二十四题
平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而与对角线交相遇于壬题言戊庚己辛两
角线方形自相似亦与全形相似
论曰试依一卷廿九题推显两角线形等角又庚甲戊与乙甲丁同角而甲戊壬外角与甲丁丙内角等甲庚壬外角与甲乙丙内角等戊壬庚外角与乙己壬内角等乙己壬外角又与乙丙丁内角等则戊庚形与甲丙全形等角矣依显己辛形亦与全形等角矣今欲显两形与全形相似者试观甲庚壬与甲乙丙两角形甲戊壬与甲丁丙两角形既各等角【一卷廿九可推仍见本篇四之系】即甲乙与乙丙之比例若甲庚与庚壬而庚乙两角旁各两边之比例等也【六卷四】又乙丙与丙甲之比例若庚壬与壬甲丙甲与丙丁之比例若壬甲与壬戊平之即乙丙与丙丁若庚壬与壬戊也【五卷廿二】则乙丙丁庚壬戊两角旁各两边之比例等也依显各角旁各両边之比例皆等是两角线方形自相似亦与全形相似
第二十五题
两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等法曰甲乙两直线形求作他直线形与甲相似与乙相等先于求相似之甲形任取一边如丙丁于丙丁边上作平行方形与甲等为丙戊【一卷四四四五】次于丁戊边上作平行方形与乙等而戊丁庚角
与丁丙己角等为丁辛其丙丁庚己戊辛俱为直线也【一卷四五可推】次作一壬癸线为丙丁丁庚之中率【本篇十三】末于壬癸上作子形与甲相似而体势等【本篇十八】即子形与乙等
论曰丙丁壬癸丁庚三线既为连比例即依本篇二十题之系可显一丙丁与三丁庚之比例若一丙丁上之甲与二壬癸上之子两形相似而体势等者之比例也又丙丁与丁庚之比例若丙戊与丁辛两等髙平行方形之比例也【本篇一】则丙戊与丁辛若甲与子矣夫丙戊与丁辛元若甲与乙也【丙戊与甲等丁辛与乙等】则甲与乙之比例若甲与子也【五卷十一】而乙形与子形等矣【五卷九】
第二十六题
平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线解曰乙丁平行方形之内减戊庚平行方形元形减形相似而体势等又戊甲庚同角题言戊庚形必依乙丁形之对角线
论曰试作甲己己丙对角两线若两线为一直线即显戊庚形依甲丙对角线矣如云甲己己丙非一直线令别作元
形之对角线而分戊己邉于辛即作辛壬线与己庚平行其乙丁戊壬两平行方形既同依甲辛丙一直对角线则宜相似而体势等矣【本篇廿四】是乙甲与甲丁之比例宜若戊甲与甲壬也夫乙甲与甲丁元若戊甲与甲庚【元设形相似而体势等】今若所云则戊甲与甲庚亦若戊甲与甲壬矣【五卷十一】而甲壬分与甲庚全亦等矣【五卷九】可乎若云甲辛丙分己庚于辛即令作辛壬与己戊平行依前论驳之
第二十七题
凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形
解曰甲乙线平分于丙于半线丙乙上任作丙丁戊乙平行方形其对角线乙丁次作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半
线上之阙形【本卷界说六】此两形相等相似势体又等题言甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形必大于此有阙依形
论曰试于乙丁对角线上任取一防为庚从庚作己庚壬线庚癸线与甲乙乙戊各平行即得甲庚为依甲乙元线之有阙平行方形而癸壬为其阙形此癸壬阙形既依乙丁对角线则与丙戊阙形相似而体势等【本篇廿四】夫丙庚庚戊两余方形既等【一卷四三】若每加一癸壬角线方形即丙壬与癸戊亦等也又丙壬与丙己俱在两平行线内底等即两形等【一卷三六】而丙己与癸戊两形亦等若每加一丙庚形是甲庚平行方形与子丑磬折形亦等也丙戊平行方形凾子丑磬折形之外尚有庚丁形则丙戊形必大于子丑磬折形而等丙戊之甲丁形【丙戊甲丁同在两平行线内又等底故见一卷三六】必大于等磬折形之甲庚形矣依显凡依乙丁对角线作形与丙戊相形者其有阙依形俱小于甲丁也为其必有庚丁之较故也
又论甲丁必大于甲庚曰己丁丁壬两平行方形同在两平行线内又底等即两形
等【一卷卅六】而庚戊为丁壬之分则丁壬大于庚戊较余一庚丁形其大于丙庚亦如之【庚戊丙庚两余方形等故见一卷四三】即等丁壬之己丁形其大于丙庚亦较余一庚丁形也次每加一丙己形则甲丁必大于甲庚矣
又解曰若庚防在丙戊形外即引乙丁对角线至庚从庚作辛丑线与癸戊平行次引甲癸线至辛引乙戊线至丑而与辛丑线遇于辛于丑末作庚己线与辛甲平行
即得甲庚为依甲乙元线之有阙平行方形又得己丑与丙戊相似而体势等者【两形同依乙庚对角线故见本篇廿四】为其阙形也题言甲丁形亦大于甲庚形
论曰试于丙丁线引出之至子即辛子子丑两线等【一卷卅四】而辛丁丁丑两形亦等【一卷卅六】其丁丑己丁两余方形既等即己丁与辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既较余一庚丁形则己丁之大于辛壬亦较余一庚丁形也此两率者每加一甲壬平行方形则甲丁大于甲庚者亦较余一庚丁形矣依显凡乙丁对角线引出丙戊形外依而作形与丙戊相似者其有阙依形俱小于甲丁也为其必有庚丁之较故也
第二十八题
一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似者
法曰甲乙线求作依线之有阙平行方形与所设直线形丙等而其阙形与所设平行方形丁相似先以
甲乙线两平分于戊次于戊乙半线
上作戊己庚乙平行方形与丁相似
而体势等【本篇十八】次作甲辛庚乙满元
线平行方形若甲己平行方形与丙
等者【本篇廿五】即得所求矣若甲己大于
丙者【题言甲己小即不可作见本篇廿七】即等甲己之
戊庚亦大于丙也则寻戊庚之大于丙几何假令其较为壬【两直线形不等相减之较法见一卷四五増】即作癸子丑寅平行方形与壬等又与戊庚形相似而体势【本篇廿五】则戊庚平行方形与丙直线形及癸丑平行方形并等而戊庚必大于癸丑矣夫戊庚与癸丑既相似即戊己与巳庚两边之比例若寅癸与癸子也而戊庚既大于癸丑即戊己己庚两邉亦大于寅癸癸子也次截取己巳己夘与癸子癸寅等而作己己辰夘平行方形必与
癸丑形相等相似而体势等矣又夘
己形既与戊庚相似而体势等必同
依乙己对角线也【本篇廿六】次于己辰线
引出抵甲乙元线于夘辰两界各引
出作午未线即甲辰为依甲乙线之
有阙平行方形与丙等而其阙形乙
辰与戊庚相似【本篇廿四】即亦与丁相似
论曰辰庚与辰戊两余方形既等【一卷四三】每加一乙辰角线方形即乙己与戊午亦等而与等戊午之戊未亦等【戊午戊未同在平行线内又底等故见一卷卅六】乙己与戊未既等又每加一申辰方形即甲辰平行方形与申酉罄折形亦等矣夫申酉罄折形为戊庚形之分而戊庚与丙及癸丑等戊庚所截去之夘己又与癸丑等则申酉罄折形与丙等也而甲辰亦与丙等也
第二十九题
一直线求作依线之带余平行方形与所设直线形等而其余形与所设平行方形相似
法曰甲乙线求作依线之带余平行
方形与所设直线形丙等而其余形
与所设平行方形丁相似先以甲乙
线两平分于戊次于戊乙半线上作
戊己庚乙平行方形与丁相似而体
势等【本篇十八】次别作一平行方形与丙及
戊庚并等为辛【二卷十四】次别作一平行方形与辛等又与丁相似而体势等为壬癸子丑【本篇廿五】其丑癸既与辛等即大于戊庚而丑癸既与戊庚相似即丑壬与壬癸两邉之比例若戊己与己庚也而丑壬与壬癸两线必大于戊巳与巳庚也【若等或小即丑癸不大于戊庚】次于巳戊引之至卯与壬丑等于巳庚引之至寅与壬癸等而作卯寅平行方形即卯寅与丑癸同依辰巳对角线而等【本篇廿六】又与戊庚相似而体势等矣次于甲乙引之至巳庚乙引之至午于午卯引之至未末作甲未线与己夘平行即得甲辰带余平行方形依甲乙线与丙等而己午为其余形与戊庚形相似而体势等【本篇廿四】即与丁相似而体势等
论曰甲夘戊午两形既等【一卷卅六】戊午与乙寅两余方形又等【一卷四三】则甲夘与乙寅亦等矣而每加一夘己形则甲辰平行方形与戊辰寅罄折形亦等矣夫戊辰寅罄折形元与丙等【丑癸即夘寅与丙及戊庚并等每减一戊庚即罄折形与丙等】即甲辰亦与丙等
第三十题
一直线求作理分中末线
法曰甲乙线求理分中末先于元线作甲乙丙丁直角方形次依丁甲邉作丁己带
余平行方形与甲丙直角方形等而甲己为其余形又与甲丙形相似【本篇廿九】即甲己亦直角方形矣【惟直角方形恒与直角方形相似】则戊己线分甲乙于辛为理分中末线也【本卷界说三】
论曰丁己与甲丙两形既等每减一甲戊形即所存甲己辛丙两形亦等矣此两形之甲辛己戊辛乙两角既等【两皆直角故】即两角旁之各两邉线为互相视之线也【本篇十四】而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线其为比例若甲辛与辛乙也是甲辛乙线为理分中末也
又论曰甲乙甲辛辛乙凡三线而第一第三矩内之辛丙直角形与第二甲辛上直角方形等即三线为连比例【本篇十七】而甲乙与甲辛若甲辛与辛乙矣又法曰甲乙线求分于丙而甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等【二卷十一】即甲乙之分于丙为理分中末线盖甲乙甲丙丙乙三线
为连比例故【本篇廿七】
第三十一题
三邉直角形之对直角邉上一形与直角旁邉上两形若相似而体势等则一形与两形并等
解曰甲乙丙三邉直角形乙甲丙为直角于乙丙上任作直线形为乙丙丁戊次于甲乙甲丙上亦作甲乙己庚甲丙壬辛两形与乙丁形相似而体势等【本篇】
【十八】题言乙丁形与乙庚丙辛两形并等
论曰试从甲作甲癸为乙丙之垂线依本篇第八题之系即乙丙与丙甲两邉之比例若丙甲与丙癸两邉则一乙丙邉与三丙癸邉之比例若一乙丙上之乙丁形与二甲丙上之丙辛形也【本篇十九或二十之系】反之则丙癸与乙丙两邉之比例若丙辛与乙丁两形也依显乙癸与乙丙两邉之比例若乙庚与乙丁两形也【乙丙乙甲乙癸三邉为连比例故见本篇八之系】夫一丙癸与二乙丙之比例既若三丙辛与四乙丁而五乙癸与二乙丙之比例亦若六乙庚与四乙丁则一丙癸五乙癸并与二乙丙之比例若三丙辛六乙庚并与四乙丁也既一丙癸五乙癸并与二乙丙等则三丙辛六乙庚并与四乙丁亦等【五卷廿四】
又论曰甲乙丙与癸甲丙两角形既相似而甲乙丙角形其乙丙与丙甲之比例若癸甲丙角形之丙甲与丙癸【本篇八】即乙丙与丙甲两邉相似则癸甲丙与
甲乙丙两角形之比例为丙甲与乙丙再加之比例【本篇十九】而丙辛与乙丁两形之比例亦为丙甲与乙丙再加之比例【本篇十九二十】则癸甲丙与甲乙丙两角形之比例若丙辛与乙丁两形也【五卷十一】依显癸乙甲与甲乙丙两角形之比例若乙庚与乙丁两形也是一甲癸丙与二甲乙丙之比例若三丙辛与四乙丁也而五癸乙甲与二甲乙丙之比例若六乙庚与四乙丁也即一甲癸丙五癸乙甲并与二甲乙丙之比例若三丙辛六乙庚并与四乙丁也【五卷廿四】既一甲癸丙五癸乙甲并与二甲乙丙等则三丙辛六乙庚并与四乙丁亦等
又论曰一甲丙上直角方形与二乙丙上直角方形之比例若三丙辛形与四乙丁形【此两率之比例皆甲丙与乙丙再加之比例见本篇十九二十】又五甲乙上直角方形与二乙丙上直角方形之比例若六乙庚形与四乙丁形即一甲丙上五甲乙上两直角方形并与二乙丙上直角方形之比例若三丙辛六乙庚两形并与四乙丁形【五卷廿四】旣甲丙甲乙上两直角方形并与乙丙上直角方形等【一卷四十】则丙
辛乙庚两形并与乙丁形等
増题角形之一邉上一形与余两邉上两形相似而体势等者其一形与两形并等则余两邉内角必直角
解曰甲乙丙角形于乙丙上任作一直线形与甲乙甲丙上两形相似而体势等其一形与两形并等题言乙甲丙必直角
论曰试作甲丁为甲丙之垂线与甲乙等次作丁丙线其丙甲丁既直角即于丁丙上作一形与乙丙上形相似其丁丙上形与丁甲甲丙上相似而体势等之两形并等矣【本题】又甲丁与甲乙等其上两形亦等即丁丙上形与甲乙甲丙上两形并亦等而乙丙上形元与甲乙甲丙上两形并等则丁丙乙丙上两形亦等而丁丙与乙丙两线亦等【本篇廿二补论】夫甲丙丁角形之甲丁与甲乙丙角形之甲乙等甲丙同邉其底乙丙丁丙又等即丁甲丙与乙甲丙两角必等丁甲丙既直角则乙甲丙亦直角
第三十二题
两三角形此形之两邉与彼形之两邉相似而平置两形成一外角若各相似之各两邉各平行则其余各一邉相聨为一直线
解曰甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙甲丙邉
与丁丙丁戊邉相似者谓甲乙与甲丙之比例若丁丙与丁戊也试平置两形令相切成一甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戌各相似之两邉各平行题言乙丙丙戊为一直线
论曰甲乙与丁丙既平行即甲角与内相对之甲丙丁等【一卷廿九】依显丁角亦与内相对之甲丙丁等则甲丁两角等而甲乙丙与丁丙戊两角形之甲丁两角旁各两邉比例又等即两形为等角形而乙角与丁丙戊角必等【本篇六】次于乙角加甲角于丁丙戊角加等甲之甲丙丁角即乙甲两角并与等甲丙丁丁丙戊两角并之甲丙戊角等次每加一甲丙乙角即甲乙丙形之内三角并与甲丙乙甲丙戊两角并等夫甲乙丙形之内三角等两直角【一卷卅二】则甲丙乙甲丙戊并亦等两直角而为一直线【一卷十四】
第三十三题【三支】
等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例
解曰甲乙丙戊己庚两圜等其心为丁为辛两圜各任割一圜分为乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为乙甲丙己戊庚题先言乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角次言乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙
丙与己庚两圜分后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚两圜分先论曰试作乙丙己庚两线次作丙壬合圜线与乙丙等作庚癸癸子两合圜线各与己庚等【四卷一】其丙壬既与乙丙等即乙丙与丙壬两圜分亦等【三卷十八】而乙丁丙与丙丁壬两角亦等【三卷廿七】依显己庚庚癸癸子三圜分己辛庚庚辛癸癸辛子三角俱等则乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数如在心乙丁壬角或乙丁壬内地倍乙丁丙角之数而己庚癸子圜分倍己庚圜分之数如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛庚角之数何者乙丁壬己辛子两角或两地内之分数与乙丙壬己庚癸子两圜分内之分数各等故也然则乙丁壬角与地若等于己辛子角与地即乙丙壬圜分必等于己庚癸子圜分矣若大亦大若小亦小矣是一乙丙所倍之乙丙壬三乙丁丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍之己庚癸子四己辛庚所倍之己辛子等大小皆同类也则一乙丙与二己庚之比例若三乙丁丙与四己辛庚也【五卷界说六】
次论曰乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦倍大于己戊庚【三卷二十】即乙丁丙与己辛庚两角之比例若乙甲丙与己戊庚两角矣【五卷廿五】则乙甲丙与己戊庚在界乗圜之两角亦若乙丙与己庚两圜分也【五卷十一】若作甲壬戊癸直线亦可用先论推显【用地当角说见三卷廿増题】
后论曰试于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜分内作丙寅壬角此两角所乗之乙甲壬丙与丙乙甲壬两圜分既等【三卷廿七】即两角亦等而乙丑丙与丙寅壬两圜小分亦相似亦相等【乙丙与丙壬两合圜线等故见三卷廿四】次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙丁壬两分圜形等【一卷四】则乙丁壬分圜形倍乙丁丙分圜形之数如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数依显己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之数亦如己庚癸子圜分倍己庚圜分之数然则乙丙壬圜分若等于己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小矣【五卷界说六】是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小
皆同类也则一乙丙圜分与二己庚圜分之比例若三乙丁丙分圜形与四己辛庚分圜形也【五卷界说六】一系在圜心两角之比例皆若两分圜形
二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗圜分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界与圜心角所乗之圜分
丁先生言欧几里得六卷中多研察有比例之线竟不及有比例之靣故因其义类増益数题用补阙如左云窦复増一题窃弁于首仍以题防从先生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先生旧増也
今増题圜与圜为其径与径再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言甲
乙丙与丁戊己为甲丙与丁
己再加之比例
论曰如云不然当言甲乙丙
圜与小于丁戊己之庚辛壬
圜或大于丁戊己之癸子丑
圜为甲丙与丁己再加之比
例也【五卷界说二十増】若言庚辛壬是者试置庚辛壬圜于丁戊己圜内为同心次于外圜内作丁亥戊未己申酉戌多邉切形其多邉为偶数又等而全不至内圜也【四卷十六补题】次于甲乙丙圜内作甲午乙寅丙夘辰己多邉切形与丁戊己圜内切形相似【四卷十六补题可推】其两圜内两径上有丁亥戊未己与甲午乙寅丙相似之两多邉形则为两相似邉再加之比例也【本篇二十】而甲丙与丁己两线为两形之相似邉据如彼论即甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形甲乙丙与庚辛壬两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎则分大于全乎若言癸子丑是者亦如前论甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形甲乙丙与癸子丑两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也反之即癸子丑与
甲乙丙两圜之比例为丁己
与甲丙两径再加之比例也
设他圜干兊离令癸子丑与
甲乙丙之比例若丁戊己与
干兊离【五卷界说増】则丁戊己与
干兊离两圜亦宜为丁己与
甲丙两径再加之比例也癸子丑既大于丁戊己即甲乙丙亦大于干兊离而丁戊己与小于甲乙丙之干兊离两圜能为丁己与甲丙两径再加之比例乎【前己驳有两圜其第一与他圜之小于第二者不得为元圜两径再加之比例】夫甲乙丙不得与圜之大于丁戊己者小于丁戊己者为甲丙与丁己再加之比例则止有元两圜为其元两径再加之比例
一系全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等葢诸比例皆两径再加之比例故二系三边直角形对直角边为径所作圜与余两邉为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等【本篇卅一可推】
三系三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者【本篇十九二十之系可推】
一増题直线形求减所命分其所减所存各作形
与所设形相似而体势等
法曰如甲直线形求减三分之一其所减所存各作形与所设乙形相似而体势等先作丙丁形与甲等与乙相似而体势等【本篇廿五】次任于其一邉如丙戊上
作丙己戊半圜次分丙戊为三平分而取其一庚戊次从庚作己庚为丙戊之垂线【本篇九】次作己丙己戊两线末于己丙己戊上作己辛己壬两形各与丙丁相似而体势等【本篇十八】即所求
论曰丙己戊角形既负半圜为直角【三卷卅一】即丙丁直线形与己辛己壬相似之两形并等【本篇卅】而于等甲之丙丁形减己壬存己辛两形各与丙丁相似而体势等则与乙相似而体势等今欲显己壬为丙丁三分之一者试观丙庚己丙己戊两角形既相似【本篇八】即丙庚与庚己之比例若丙己与己戊也【本篇四】夫丙庚庚己庚戊三线为连比例即丙庚与庚戊为丙庚与庚己再加之比例【本篇八之系】而己辛与己壬两形亦为丙己与己戊两相似邉再加之比例【本篇十九二十】即丙庚与庚戊两线之比例若己辛与己戊两形也【两比例为两同理比例之再加故】合之则丙戊与庚戊之比例若等己辛己壬两形并之丙丁与己壬矣丙戊三倍于庚戊则丙丁亦三倍于己壬而己壬为等甲之丙丁三分之一
若直线形求减之不论所减所存何形其法更易
如甲形求减三分之一先作乙丙平
行线形与甲等【一卷四一】次分乙丁为三
平分而取其一戊丁末从戊作己戊线与丙丁平行即戊丙形为等甲之乙丙形三分之一【本篇一】今附若于大圜求减所设小圜则以圜径当形邉
余法同前如上图
又今附依此法可方一初月形【方初月形者谓作直角方形与初月形等】如甲乙丙丁圜其界上有附圜
四分之一之乙壬丙戊初月形而求作一直角方形与初月形等先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形【三卷六】次用方形法四平分之即其一为所求方形与初月形等何者甲乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜并等
【本増题之今附】甲乙乙丙两线自相等即其上两半圜亦自相等而庚乙壬丙分圜形为大半圜之半即与乙己丙戊小半圜等此两率者各减一同用之乙己丙壬圜小分其所存乙壬丙戊初月形与庚乙丙角形等而庚己丙辛直角方形与庚乙丙角形亦等则与乙壬丙
戊初月形亦等依显甲乙丙丁直角方形与大圜界上四初月形并等
二増题两直线形求别作一直线形为连比例法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一直线形为连比例先作一戊己庚直线形与甲等与乙丙丁相似而体势等【本篇廿五】次以两形相似之各一邉如戊己乙丙为前中率线而求其连比例之末率线为辛壬【本篇十一】末于
辛壬上作辛壬癸形与两形相似而体势等【本篇十八】即所求
论曰戊己乙丙辛壬三线既为连比例即其上三形相似而体势等者亦为连比例【本篇廿二】
今附有两圜求别作一圜为连比例则以圜径当形邉依上法作之
三増题三直线形求别作一直线形为断比例法曰一甲二乙丙丁戊三己庚辛三直线形求别作一直线形为断比例先作壬癸子丑形与甲等与乙丁相似而体势等【本篇廿五】次以三形之任各一邉如壬癸乙丙己庚为三率求其断比例之末率
线为寅夘【本篇十二】末于寅夘上作寅夘
辰形与己庚辛相似而体势等【本篇十八】即所求
论曰四线既为断比例即其线上形
相似而体势等者亦为断比例【本篇廿二】
今附有三圜求别作一圜为断比例亦以圜径当形邉依上法作之
四増题两直线形求别作一形为连比例之中率法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一形为连比例之中率先作戊己庚直线形与甲等与乙丙丁
相似而体势等【本篇廿五】次求戊己乙丙
两直线连比例之中率为辛壬【本篇十三】末于辛壬上作辛壬癸形与戊己乙
丙上形相似而体势等【本篇十八】即所求
论曰戊己辛壬乙丙三线既为连比例即各线上戊己庚辛壬癸乙丙丁三形亦为连比例【本篇廿二】
又法曰甲乙两直线形求别作一形为
连比例之中率先作丁丙己戊平行线形任直斜角与甲等【一卷四五】次作庚戊壬辛平行线形与乙等与丁己形相似而体势等【本篇廿五】次置两平行线形以戊角相聨而丁戊戊壬为一直线即庚戊戊己亦一直
线【一卷十五増】末从两形引长各邉成丙子辛癸平行线形即两余方形俱为丁己庚壬两形之中率论曰丁己庚壬两形既相似而体势等即丁戊与己戊之比例若戊壬与戊庚也更之即丁戊与戊壬若己戊与戊庚也夫丁戊与戊壬两线之比例亦若丁己与戊癸两形己戊与戊庚两线之比例又若戊癸与庚壬两形则戊癸为丁己庚壬之中率矣
又论曰丁己庚壬两形既相似而体势等即同依丙辛对角线【本篇廿六】而子戊戊癸两余方形自相等则丁己与戊癸两形之比例若子戊与庚壬两形何者此两比例皆若丁戊与戊壬也则子戊戊癸皆丁己庚壬之中率也
今附若两圜求作一圜为连比例之中率亦以圜径当形邉依上前法作之
五増一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例法曰甲直线形求分作两直线形俱与所设丁形相似而体势等其比例若所设两几何如乙线与
丙线之比例先作戊己庚辛直线形
与甲等与丁相似而体势等【本篇廿五】次
任用其一邉如戊辛两分之于壬令
戊壬与壬辛之比例若乙与丙也【分法】
【先以乙丙两线联为一直线次截戊壬与壬辛若乙与丙见本篇十】次于戊辛上作戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作戊癸癸辛线相聨末于戊癸癸辛上作戊丑子癸癸夘寅辛两形与戊庚形俱相似而体势等【本篇十八】即此两形并与甲等又各与丁相似而体势等其比例又若乙与丙
论曰戊癸辛既负半圜为直角【三卷卅一】即戊子癸寅两形并与等戊庚之甲等【本篇卅一】又戊壬与壬癸之比例若戊癸与癸辛【俱在直角两旁故见本篇四】戊壬壬癸壬辛三线为连比例即戊壬与壬辛为戊壬与壬癸再加之比例【本篇八之系】而戊子与癸寅两形亦为戊癸与癸辛两相似邉再加之比例【本篇二十】则戊壬与壬辛之比例亦若戊子与癸寅也【两比例为两同理比例之再加故】夫戊壬与壬辛元若乙与丙也则戊子与癸寅亦若乙与丙也
今附若一圜求分作两圜其比例若所设两几何亦以圜径当形邉依上法作之
六増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似邉之比例若所设两几何之比例
法曰甲直线形求分作两直线形
俱与所设丁形相似而体势等其
两分形两相似邉之比例若所设
两几何如乙线与丙线之比例先
以乙与丙两线求其连比例之末
率为戊【本篇十一】次作己庚辛直线形与甲等与丁相似而体势等次任用其一邉如己辛两分之于壬令己壬与壬辛之比例若乙与戊也【本篇十】次于己辛线上作己癸辛半圜次从壬作壬癸为己辛之垂线次作己癸癸辛两线相聨未于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛两形俱与丁相似而体势等即此两形并与等甲之己庚辛等而己癸癸辛两相似邉之比例若乙与丙
论曰己癸辛既负半圜为直角【三卷卅】即己子癸癸丑辛两形并与等己庚辛之甲等【本篇卅一】又己壬与壬癸之比例若己癸与癸辛【俱在直角两旁故见本篇四】己壬壬癸壬辛三线为连比例即己壬与壬辛为己壬与壬癸再加之比例【本篇八之系】夫己壬与壬癸之比
例既若己子癸癸丑辛两形相似
邉之己癸与癸辛而乙与戊元若
己壬与壬辛乙与戊元为乙与丙
再加之比例则己癸癸辛之比例
若乙与丙
今附若一圜求分作两圜其两圜径之比例若所所设两几何仿此
七増题两直线形求并作一直线形与所设形相似而体势等
法曰甲乙两直线形求并作一形与
所设丙形相似而体势等先作戊丁
己形与甲等作己庚辛形与乙等又
各与丙相似而体势等【本篇廿五】次置两
形令相似之戊己己辛两邉聨为直
角次作戊辛线相聨末依戊辛线作戊辛壬与丙相似而体势等即与上两形并等【本篇卅一】如所求又法曰作一平行方形与甲乙两形并等【一卷四五】次作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似而体势等即所求
今附若两圜求并作一圜亦以圜径当形邉依上法作之
八増题圜内两合线交而相分其所分之线彼此互相视
解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两合线交而相分于戊题言所分之甲戊戊丙乙戊戊丁为互相视之线者谓甲戊与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙
戊若戊丁与戊丙也
论曰甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内直角形等【三卷卅五】即等角旁之两邉为互相视之邉【本篇十四】
九増题圜外任取一防从防出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从防作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外线之各中率
解曰甲乙丙丁圜外任取戊防从戊作戊丁戊丙两割圜至规内之线遇圜界于甲于乙题言戊丙戊乙戊丁戊甲互相视者谓戊丙与戊丁若戊甲与戊乙也
又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也
论曰试从戊作戊己线切圜于己即戊丙偕戊乙矩内直角形与戊己上直角方形等【三卷卅六】又戊丁偕戊甲矩内直角形与戊己上直角方形亦等即戊丙偕戊乙与戊丁偕戊甲两矩内直角形自相等而等角旁之两邉为互相视之邉【本篇十四】又戊丙偕戊乙
戊丁偕戊甲两矩内直角形各与戊己上直角方形等【三卷卅六】即戊丙戊己戊乙三线为连比例戊丁戊己戊甲三线亦为连比例而戊己为各全线与其规外线之各中率【本篇十七】
十増题两直线相遇作角从两线之各一界互下垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视
解曰甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为
钝角即如前图两垂线当至甲乙丙乙之各引出线上为甲丁为丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙为锐角即如后图甲丁丙戊两垂线当在甲乙丙乙之内交而相分于己也
题言两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆彼此互相视者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊也又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
论曰甲乙丁角形之甲乙丁甲丁乙两角与丙乙戊角形之丙乙戊丙戊乙两角各等【两为直角两于前圗为交角于后圗为同角故】即两形为等角形而甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也【本篇四】更之则甲乙与乙丙若丁乙
与乙戊也
又论曰依前圗可推后图之甲丁丙戊交而相分于己其甲己己丁丙己己戊亦彼此互相视盖甲己戊丙己丁既为等角形即甲己与己戊若丙己与己丁也【本篇四】更之则甲己与丙己若己戊与己丁也
十一増题平行线形内两直线与两邉平行相交而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等解曰甲乙丙丁平行线形内作戊己庚辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬题言所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形任相
与为比例皆等
论曰戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己两形【本篇一】又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己亦若乙壬与壬丙也【五卷十二】依显乙壬与戊庚亦若壬丙与庚己也
十二増题凡四邉形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等
解曰甲乙丙丁四邉形之甲丙乙丁两对角线交相分于戊题言所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等论曰甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁
与丁戊丙两角形又若甲戊乙与乙戊丙两角形【本篇一】即甲戊丁与丁戊丙两角形亦若甲戊乙与乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与丁戊丙也
十三増题三角形任于一邉任取一防从防求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何之比例
先法曰甲乙丙角形任于一邉如乙丙上任取一防为丁求从丁作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何如戊线与己线之比例先以乙丙线
两分之于庚令乙庚与庚丙之比例若戊与己【本篇十】其庚与丁若同防即作丁甲线则乙丁与丁丙两线之比例若乙丁甲与丁丙甲两角形也【本篇一】是丁甲线所分两形之比例若戊与己
次法曰若庚在丁丙之内亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己者谓乙丁辛甲无法四邉形与丁
丙辛角之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也论曰试作庚甲线即辛庚甲庚辛丁两角形等【一卷卅七】次每加一丙庚辛角形即丙庚甲丙辛丁两角形亦等则甲乙丙全形与丙庚甲角形之比例若甲乙丙与丙辛丁也【五卷七】分之则乙庚甲角形与丙庚甲角形之比例若乙丁辛甲无法四邉形与丙辛丁角形也【五卷十七】乙庚甲与丙庚甲两角形之比例既若乙庚与庚丙【本篇一】则乙丁辛甲无法四邉形与丙辛丁角形之比例亦若乙庚与庚丙也则亦若戊与己也
后法曰若庚在乙丁之内亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己者谓乙丁辛角形与丁丙甲辛无
法四邉之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也论曰试作庚甲线如前推显辛庚甲庚辛丁两角形等【一卷卅七】次每加一乙庚辛角形即乙庚甲与乙辛丁两角形亦等则甲乙丙全形与乙庚甲角形之比例若甲乙丙与乙辛丁也【五卷七】分之则丙庚甲角形与乙庚甲角形之比例若丁丙甲辛无法四邉形与乙辛丁角形也【五卷十七】反之则乙庚甲角形与丙庚甲角形
之比例若乙辛丁角形与丁丙甲辛无法四邉形也乙庚甲与丙庚甲之比例既若乙庚与庚丙【本篇】则乙丁辛角形与丁丙甲辛无法四邉形之比
例亦若乙庚与庚丙也则亦若戊与己也
系凡角形任于一邉任取一防从防求减命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形与所减分之比例其倍数若命分之数也
十四増题一直线形求别作一直线形相似而体势等其小大之比例如所设两几何之比例法曰甲直线形求别作直线形相似而体势等其
甲形与所作形小大之比例若所设
两几何如乙与丙两线之比例先以
乙丙及任用甲之一邉如丁戊三线
求其断比例之末率为己【本篇十二】次求
丁戊及己之中率线为庚辛【本篇十三】末
从庚辛上作壬直线形与甲相似而
体势等即甲与壬之比例若乙与丙
论曰丁戊庚辛己三线为连比例即
一丁戊与三己之比例若相似而体
势等之甲与壬【本篇十九二十之系】
若先设大甲求作小壬若乙与丙其
法同如上圗
用此法可依此直线形加作两倍大三倍四五倍大以至无穷之他形亦可依此直线形减作二分之一三分四五分之一以至无穷之他形其此形与他形皆相似而体势等
有用法作直角方形平行线形及各形之相加相减者如甲乙丙丁直角方形求别作五倍大之他形先以甲乙线引长之以甲乙为度截取五分至戊令乙至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平分于己次以己为心甲戊为界作甲庚
戊半圜其乙丙线直行遇圜界于庚即乙庚为所求方形之一邉也末作乙庚辛己直角方形即五倍大于甲丙向者乙庚既为戊乙乙甲之中率线【本篇十三之系】即一戊乙与三乙甲之比例若二庚乙上直角方形与三甲乙上直角方形之比例也【本篇二十之系】戊乙既五倍于乙甲则乙辛亦五倍于甲丙若戊乙为乙甲之六倍则乙辛亦甲丙
之六倍若戊乙为乙甲三分之一则乙辛亦甲丙三分之一相加相减仿此以至无穷如甲乙丙丁平行直角形求别作二倍大之他形相似而体势等先以甲乙线引长之以甲乙为度截取二分至
戊令乙至戊二倍大于甲乙也次以
甲戊两平分于己次以己为心甲戊
为界作甲庚戊半圜其丙乙线直行
遇圜界于庚即乙庚为所求直角形
之一邉也次于甲戊线上截取甲辛与乙庚等从辛作辛壬线与乙丙平行次作甲丙对角线引长之与辛壬线遇于壬末作丁癸癸壬成甲辛壬癸平行直角形即二倍大于甲丙又相似而体势等何者戊乙乙庚乙甲三线既为连比例【本篇十三之系】如前论一戊乙与三乙甲之比例若二等乙庚之甲辛上平行直角形甲壬与三甲乙上平行直角形甲丙也【本篇二十之系】戊乙既二倍于甲乙则甲壬亦二倍于甲丙
用此法凡甲乙上不论何等形与乙庚上形相似而体势等者其乙庚上形皆二倍大于甲乙上形相加相减俱仿此以至无穷
今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于甲乙径上圜相加相减仿此以至无穷
以上用法与本増题同但此用法随作随得中率线不费寻求致为简易耳
十五増题诸三角形求作内切直角方形
法曰如甲乙丙锐角形求作内切直角方形先从
甲角作甲丁为乙丙之垂线次
以甲丁线两分于戊令甲戊与
戊丁之比例若甲丁与乙丙【本篇
十一増题】末从戊作己庚线与乙丙
平行从己从庚作己辛庚壬两
线皆与戊丁平行即得己壬形
如所求若直角钝角形则从直角钝角作垂线余法同【如第二第三圗是】
论曰己戊庚线既与乙丙平行即乙丁与丁丙若己戊与戊庚也【本篇四之増题】合之即乙丙与丁丙若己
庚与戊庚也又丁丙与甲丁若
戊庚与甲戊【甲丁丙与甲戊庚为等角形故见本
篇四之系】平之即乙丙与甲丁若己
庚与甲戊也又甲丁与乙丙若
甲戊与戊丁平之即乙丙与乙
丙若己庚与戊丁也乙丙与乙
丙同线必等即己庚与戊丁必等而己庚与辛壬又等【一卷卅四】戊丁与己辛庚壬亦等则己庚庚壬壬辛辛己四邉俱等又戊丁辛既直角即己辛丁亦直角【一卷廿九】其余亦皆直角而己壬为直角方形
又法曰若直角三邉形求依乙角作
内切直角方形则以垂线甲乙两分
于丁令甲丁与丁乙之比例若甲乙
与乙丙【本篇十】次从丁作丁戊直线与乙丙平行从戊作戊己直线与甲乙平行即得丁己形如所求论曰乙丙与甲乙既若丁戊与甲丁【甲乙丙甲丁戊为等角形故见本篇四之系】而甲乙与乙丙又若甲丁与丁乙平之即乙丙与乙丙若丁戊与丁乙也乙丙与乙丙同线必等即丁戊与丁乙必等而丁己为直角方形今附如上三邉直角形依乙角作内切直角方形其方形邉必为甲丁己丙两分余邉之中率何者甲丁与丁戊若戊己与己丙故【本篇四之系】
几何原本卷六